Problème démarrage à froid 330 xi

[Yes51]

Bonjour à tous

Il y a un problème de démarrage à froid sur ma 330 xi de 2004 uniquement lors du 1er démarrage matinale ou longue pause.
Dans ces conditions, au premier tour de clé je n'entend pas la pompe à essence s'activer au niveau du réservoir et le moteur ne démarre pas comme non alimenté.
Après 3/4 tentatives on entend clairement l'activation de la pompe et tout démarre sans à coup.
Le reste du temps tout fonctionne normalement, il n'y a aucun voyant et le diagnostic ne détecte pas d'anomalie.
Je retrace l'historique des interventions, en premier lieu après vérification des fusibles la batterie à été changé ainsi qu'une sonde de température, puis la pompe à essence et échange sous garantie de la batterie (au cas ou)....depuis je ne vais plus au garage car sa chiffre !
Pour moi un relais fonctionne ou ne fonctionne pas mais pas à moitié donc je ne vois pas d'autre solution et j'ai du mal à cerner duquel il s'agit, j'ai entendu parler du boitier antidémarrage situé derrière la boite à gant...mais j'ai un peu le sentiment de me faire plumer au garage.
Si vous avez un retour d'expérience sur ce problème et conseils pour que j'intervienne seul....je suis preneur :)
Un grand merci par avance

[Yes51]

Personne pour m'aider ?
L'Hiver est revenu avec le même problème
merci