Reprenons depuis le début.
Sur une voiture, en roulant, la batterie fourni toute l'énergie au moteur pour fonctionner.
L'alternateur la recharge au fur et à mesure.
Donc...
Le voyant de batterie qui reste allumé moteur en route : défaut de charge (alternateur fautif).
La batterie fourni donc l'énergie au moteur, mais elle n'est pas rechargée.
Au bout d'un moment, quand elle est déchargée, tout s'arrête...
Sur les voitures anciennes, remplacer l'alternateur et recharger la batterie suffisait à régler la panne.
Sur les voitures modernes (donc hum.. sophistiquées), le fait d'avoir le moteur en fonctionnement quand la batterie lâche, peut entrainer la destruction de certains organes électriques (certains capteurs par exemple).
Dans ton cas, je commencerais par essayer de démarrer avec une batterie saine (et à la bonne puissance et au bon ampérage, c'est important).
Si ça démarre, remplacement de l'alternateur.
Si ça démarre pas, passage à la valise par un spécialiste pour déterminer quel relais, capteur ou sonde est HS.
Courage,
François